2025-10-21

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“First, solve the problem. Then, write the code.” —— John Johnson
本笔记为 第一讲 · 基础算法 的 C++ 模板与题解，涵盖排序、二分查找、高精度计算、前缀和与差分、双指针算法、位运算、离散化、区间合并等核心内容。旨在为学习者提供一个清晰、实用、系统的学习与复习参考。
一切算法的基石，皆始于基础。从排序的秩序，到二分的精确；从前缀和的铺垫，到双指针的灵动——每一个看似平凡的技巧，都是构筑复杂算法体系的砖石。
本章将带你重燃算法的最初之火，掌握那些最常用却最重要的基础技巧。点滴打磨，终将凝成锋芒。

📖 第一讲基础算法

🚀 1. 快速排序

核心思想：快速排序是一种高效的分治排序算法，平均时间复杂度为 O(n log n)。其核心是选取一个基准元素（pivot），通过一趟排序将待排序列分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

1.0 洛谷题单

来源	题目/题单	说明
洛谷	快速排序和归并排序 - 题单 - 洛谷	快速排序和归并排序（题单）
洛谷	归并排序 - 题单 - 洛谷	归并排序（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/107	【算法1-2】排序（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/189070	快速排序（题单）

1.1 快速排序

🔗 练习平台

LeetCode: 912. 排序数组
洛谷:

🎯 AcWing 题目与题解

快速排序模板

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5+7;

int q[N];

// 快速排序模板
void quickSort(int q[], int l, int r){
    if(l >= r) return;
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while(i < j){
        do i++; while(q[i] < x);
        do j--; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quickSort(q, l, j);
    quickSort(q, j + 1, r);
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);

    quickSort(q, 0, n - 1);

    for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);
    return 0;
}

🧬 2. 归并排序

核心思想：归并排序是建立在归并操作上的一种有效、稳定的排序算法，时间复杂度始终为 O(n log n)。该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。它将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列。

2.1 归并排序

🔗 练习平台

洛谷:
- https://www.luogu.com.cn/problem/U232725
- 题单: 快速排序和归并排序
- 题单: 归并排序

🎯 AcWing 题目与题解

归并排序模板

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5+7;
int q[N], tmp[N];

// 归并排序模板
void mergeSort(int q[], int l, int r){
    if(l >= r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    mergeSort(q, l, mid);
    mergeSort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r){
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else tmp[k++] = q[j++];
    }
    while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];

    for(int i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) q[i] = tmp[j];
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    mergeSort(q, 0, n - 1);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);
    return 0;
}

2.2 逆序对的数量

解法思路：归并排序在合并左右两个有序子数组时，若发现左边数组的元素 q[i] 大于右边数组的元素 q[j]，则意味着 q[i] 以及其后的所有元素（mid - i + 1个）都与 q[j] 构成逆序对。

🔗 练习平台

洛谷:
- P1908 逆序对
- U232725 逆序对

🎯 AcWing 题目与题解

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5+7;
int q[N], tmp[N];

LL mergeSort(int q[], int l, int r){
    if(l >= r) return 0;
    int mid = l + r >> 1;
    LL res = mergeSort(q, l, mid) + mergeSort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r){
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else{
            tmp[k++] = q[j++];
            res += mid - i + 1;
        }
    }
    while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];
    
    for(int i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) q[i] = tmp[j];
    
    return res;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    cout << mergeSort(q, 0, n - 1) << endl;
    
    return 0;
}

🔍 3. 二分查找

核心思想：二分查找（Binary Search）是一种在 有序数组 中查找特定元素的搜索算法。通过每次比较数组中间元素与目标值，可以将搜索范围缩小一半，从而实现 O(log n) 的高效查找。

3.0 洛谷题单

来源	题目/题单	说明
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/U383691	U383691 数的范围
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/U548010	U548010 数的范围
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/U269026	U269026 数的范围
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/U319688	U319688 数的范围
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/U376595	U376595 数的范围
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/U494146	U494146 数的范围
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/T582716	T582716 数的范围
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/U269029	U269029 数的三次方根
洛谷	https://www.luogu.com.cn/problem/T627060	T627060 开三次方根
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/467123	3.0L2-C09-二分查找（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/767570	二分（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/121749	二分题单（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/506313	二分查找+二分答案（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/111	【算法1-6】二分查找与二分答案（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/545539	二分算法（普及-至普及/提高-）（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/138949	二分查找（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/10364	【普及组训练】二分答案（题单）

3.1 数的范围（整数二分）

🔗 练习平台

洛谷:
- U383691 【模板】二分查找
- 题单: 二分查找/二分答案

🎯 AcWing 题目与题解

整数二分模板
关键在于 check 函数的实现和 mid 的取值，确保每次循环都能缩小范围且不会死循环。

// 查找左边界：区间[l, r]被划分为[l, mid]和[mid + 1, r]
int bsearch_left(int l, int r) {
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;  // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

// 查找右边界：区间[l, r]被划分为[l, mid - 1]和[mid, r]
int bsearch_right(int l, int r) {
    while (l < r) {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

题解代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int q[N];

int main(){
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);

    while(m--){
        int x;
        scanf("%d", &x);
        
        // 查找起始位置
        int l = 0, r = n - 1;
        while(l < r){
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if(q[l] != x) {
            cout << "-1 -1" << endl;
        } else {
            cout << l << " ";
            // 查找结束位置
            int l = 0, r = n - 1;
            while(l < r){
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}

3.2 数的三次方根（浮点数二分）

🔗 练习平台

洛谷:
- U269029 数的三次方根
- T627060 开三次方根

🎯 AcWing 题目与题解

浮点数二分模板
浮点数二分相对简单，不需要处理边界和 +1 的问题。循环条件通常是 r - l > eps (精度) 或固定循环次数。

//浮点数二分模板
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_float(double l, double r) {
    const double eps = 1e-8; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

题解代码

#include<iostream>
#include<iomanip>

using namespace std;

int main(){
    double n;
    cin >> n;
    
    double l = -10000, r = 10000;
    // 也可以固定循环次数，例如 for(int i=0; i<100; i++)
    while(r - l > 1e-8){
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= n) r = mid;
        else l = mid;
    }
    
    cout << fixed << setprecision(6) << l << endl;
    return 0;
}

🧮 4. 高精度计算

核心思想：当 long long 也无法存储一个数时，就需要用数组来模拟大数的运算。基本思路是将大数逆序存储在 vector<int> 中，每个元素存一位数字，然后模拟手算的过程（如加法中的进位、减法中的借位）。

4.0 洛谷题单

来源	题目/题单	说明
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/398734	高精度专项训练练习题（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/304001	高精度（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/106	【算法1-1】模拟与高精度（题单）

4.1 高精度加法

🔗 练习平台

洛谷:
- P1601 A+B Problem（高精）
- U489586 高精度加法
牛客: 高精度加法

🎯 AcWing 题目与题解

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<algorithm>

using namespace std;

// 高精度加法模板
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B){
    vector<int> C; 
    int t = 0; // 进位
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size() || t; i++){
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return C;
}

int main(){
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    vector<int> A, B;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    
    vector<int> C = add(A, B);
    
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
    cout << endl;
    return 0;
}

4.2 高精度减法

🔗 练习平台

洛谷: P2142 高精度减法

🎯 AcWing 题目与题解

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>

using namespace std;

// 比较 A 是否 >= B
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B){
    if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--){
        if(A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
    }
    return true;
}

// 高精度减法模板 (A - B)
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B){
    vector<int> C; 
    int t = 0; // 借位
    for(int i = 0; i < A.size(); i++){
        t = A[i] - t;
        if(i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if(t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去掉前导0
    return C;
}

int main(){
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    vector<int> A, B;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    
    vector<int> C;
    if(cmp(A, B)) {
        C = sub(A, B);
    } else {
        C = sub(B, A);
        cout << "-";
    }

    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
    cout << endl;
    return 0;
}

4.3 高精度乘法

🔗 练习平台

洛谷
- U371642 【模板】高精度乘法

🎯 AcWing 题目与题解

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>

using namespace std;

// 高精度乘法模板 (大数 * 小数)
vector<int> mul(vector<int> &A, int b){
    vector<int> C; 
    int t = 0; // 进位
    for(int i = 0; i < A.size() || t; i++){
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

int main(){
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    vector<int> A;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    
    vector<int> C = mul(A, b);
    
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
    cout << endl;
    return 0;
}

4.4 高精度除法

🔗 练习平台

洛谷: P1480 A/B Problem

🎯 AcWing 题目与题解

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>

using namespace std;

// 高精度除法模板 (大数 / 小数)，r是余数
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r){
    vector<int> C; 
    r = 0;
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--){
        r = r * 10 + A[i]; 
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

int main(){
    string a;
    int b, r;
    cin >> a >> b;
    vector<int> A;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    
    vector<int> C = div(A, b, r);
    
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
    cout << endl << r << endl;
    return 0;
}

📊 5. 前缀和与差分

核心思想：前缀和与差分是一对逆运算，是处理 区间问题 的利器。前缀和能 O(1) 地求出数组任意区间的和，而差分则能 O(1) 地对数组的任意区间进行批量增减操作。

5.0 洛谷题单

来源	题目/题单	说明
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/168559	前缀和与差分（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/671085	一维前缀和（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/4013	差分入门（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/485232	差分（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/46475	差分、树上差分（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/200	【算法2-1】前缀和、差分与离散化（题单）

5.1 前缀和（一维）

🔗 练习平台

洛谷:
- P8218 【深基2.例12】求区间和
- U410636 一维前缀和

🎯 AcWing 题目与题解

一维前缀和公式

S[i] = a + a + ... + a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], s[N];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    // 初始化前缀和数组
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
    
    while(m--){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

5.2 子矩阵的和（二维）

🔗 练习平台

洛谷

🎯 AcWing 题目与题解

二维前缀和公式 (容斥原理)

S[i,j] = S[i-1,j] + S[i,j-1] - S[i-1,j-1] + a[i,j]
Sum(x1,y1,x2,y2) = S[x2,y2] - S[x1-1,y2] - S[x2,y1-1] + S[x1-1,y1-1]

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], s[N][N];

int main(){
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    
    // 初始化二维前缀和数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
            
    while(q--){
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1] << endl;
    }
    return 0;
}

5.3 差分（一维）

🔗 练习平台

洛谷: P2367 语文成绩

🎯 AcWing 题目与题解

一维差分操作

// 给区间[l, r]中的每个数加上c
B[l] += c, B[r + 1] -= c

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N], b[N]; // a为原数组，b为差分数组

void insert(int l, int r, int c){
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    // 初始化差分数组b
    for(int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);
    
    while(m--){
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l, r, c);
    }
    
    // 通过前缀和还原数组a
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = a[i - 1] + b[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cout << a[i] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

5.4 差分矩阵（二维）

🔗 练习平台

洛谷: U223961 差分矩阵

🎯 AcWing 题目与题解

二维差分操作

// 给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵所有元素加上c
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3+10;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
} 

int main(){
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
            
    // 初始化差分数组b
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
            
    while(q--){
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    // 通过前缀和还原数组a
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1] - a[i-1][j-1] + b[i][j];
            
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            cout << a[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

👉👈 6. 双指针算法

核心思想：双指针算法是一种通过维护两个指针在序列中同向或相向移动，来优化暴力枚举的技巧。它通常能将 O(n²) 的复杂度优化到 O(n)，常用于解决子序列、数组和等问题。

6.0 洛谷题单

来源	题目/题单	说明
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/306156	双指针（题单）

6.1 最长连续不重复子序列

🔗 练习平台

洛谷
- U224090 最长连续不重复子序列
- U492053 最长连续不重复子序列

🎯 AcWing 题目与题解

1、双指针算法模板
for (int i = 0, j = 0; i < n; i++) {
 while (j < i && check(i, j)) j++;
 // 具体问题的逻辑
}
2、常见问题分类： (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间 (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N], s[N]; // s数组用于计数

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    
    int res = 0;
    // i指针向右移动，j指针在需要时跟进
    for(int i = 0, j = 0; i < n; i++){
        s[a[i]]++;
        // 当a[i]出现次数>1时，移动j指针直到窗口内无重复元素
        while(s[a[i]] > 1){
            s[a[j]]--;
            j++;
        }
        res = max(res, i - j + 1);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

6.2 数组元素的目标和

🔗 练习平台

洛谷: U268985 数组元素的目标和

🎯 AcWing 题目与题解

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N], b[N];

int main(){
    int n, m, x;
    cin >> n >> m >> x;
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 0; i < m; i++) cin >> b[i];
    
    // i 从左向右，j 从右向左，相向而行
    for(int i = 0, j = m - 1; i < n; i++){
        while(j >= 0 && a[i] + b[j] > x) j--;
        if(j >= 0 && a[i] + b[j] == x){
            cout << i << " " << j << endl;
            break;
        }
    }
    return 0;
}

6.3 判断子序列

🔗 练习平台

洛谷: U269021 【模板】判断子序列

🎯 AcWing 题目与题解

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int a[N], b[N];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 0; i < m; i++) cin >> b[i];
    
    int i = 0, j = 0;
    // i, j 指针同向移动
    while(i < n && j < m){
        if(a[i] == b[j]) i++;
        j++;
    }
    
    if(i == n) cout << "Yes" << endl;
    else cout << "No" << endl;
    
    return 0;
}

⚙️ 7. 位运算

核心思想：位运算是直接对整数在内存中的二进制位进行操作，速度极快。熟练掌握位运算技巧（如 n >> k & 1 取出第 k 位，x & -x 即 lowbit 操作等）是解决树状数组等问题的基础。

7.0 洛谷题单

来源	题目/题单	说明
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/406978	位运算（题单）
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/463970	位运算题单（题单）

7.1 二进制中1的个数

🔗 练习平台

洛谷: U199197 【模板】二进制中1的个数

🎯 AcWing 题目与题解

位运算常用技巧
求 n 的第 k 位数字: n >> k & 1
lowbit(x): 返回 x 的最后一位 1。x & -x (负数在计算机中用补码表示)

位运算模板
1、求n的二进制中的第k位数字（从最低位开始数，最低位是第0位，先让x的二进制右移k位，再和1的二进制数进行与运算;比如n=101010000,k=4,就是要取101010000的第四位数字也就是1，先右移4位成10101，再和00001与运算得1，任何数与1进行与运算都得最低位），代码实现：
int result = n>>k&1;
2、返回n的二进制的从最低位开始数的第一位1及低位的所有数字（比如101010000就是返回10000），如果 x 的二进制表示是正数，那么 -x 的二进制表示就是 x 的补码,即x与x得补码进行与运算，比如101010000，即101010000&010110000，得10000。代码实现：
int lowbit(int x){
	return x&-x;

#include<iostream>
using namespace std;

// 返回x的二进制表示中，最后一位1所代表的值
int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n--){
        int x;
        cin >> x;
        int count = 0;
        while(x){
            x -= lowbit(x); // 每次减去最后一位1
            count++;
        }
        cout << count << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

🗺️ 8. 离散化

核心思想：当问题涉及的数据范围很大（如 10^9），但实际用到的数据点个数却很少时（如 10^5），我们可以将这些稀疏的大数映射到一个较小的连续整数范围内（如 1..10^5），这就是离散化。它本质上是一种哈希，通常用于配合树状数组、线段树等数据结构。

8.0 洛谷题单

来源	题目/题单	说明
洛谷	https://www.luogu.com.cn/training/878154	题单——集合与离散化（题单）

8.1 区间和

🔗 练习平台

洛谷: U415396 【模板】离散化

🎯 AcWing 题目与题解

区间和

区间和2

离散化模板

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去重

// 通过二分查找x离散化后的值
int find(int x) {
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...
}

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 3e5 + 10;

int a[N],s[N];//a[N]是存储插入坐标的值的数组，并且插入坐标和a的索引相对应，s是a的前缀和数组，上图中的a和s数组是从下标1开始画的（图有点错误）
vector<int> alls;//alls是存储所有坐标的数组，上图中的alls数组是从下标0开始画的，所以find那里要return的r要加1，才能正确映射到a和s数组（图有点错误）
vector<PII> add,query;//add是存储插入坐标和插入值的容器，query是存储查询坐标的容器

// 返回x离散化后的下标
int find(int x){
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1开始的下标
}

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});
        alls.push_back(x);
    }
    for(int i = 0; i < m; i++){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    
    // 排序去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); 
    
    // 处理插入操作
    for(auto item : add){
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }
    
    // 预处理前缀和
    for(int i = 1; i <= alls.size(); i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
    
    // 处理查询操作
    for(auto item : query){
        int l = find(item.first);
        int r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l-1] << endl;
    }
    
    return 0;
}

🤝 9. 区间合并

核心思想：将一系列可能存在交集的区间合并成一个或多个无交集的连续区间。其标准做法是：首先按区间的 左端点 进行排序，然后遍历排序后的区间，维护一个当前合并的区间 [st, ed]，并与下一个区间进行比较和合并。

9.1 区间合并

🔗 练习平台

洛谷: U282660 【模板】区间合并

🎯 AcWing 题目与题解

区间合并模板

void merge(vector<PII> &segs) {
 vector<PII> res;
 sort(segs.begin(), segs.end());
 int st = -2e9, ed = -2e9;
 if (!segs.empty()) {
     st = segs.first;
     ed = segs.second;
 }
 for (int i = 1; i < segs.size(); i++) {
     if (segs[i].first <= ed) {
         ed = max(ed, segs[i].second);
     } else {
         res.push_back({st, ed});
         st = segs[i].first;
         ed = segs[i].second;
     }
 }
 if (!segs.empty()) res.push_back({st, ed});
 segs = res;
}

题解代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

void merge(vector<PII> &segs){
    if(segs.empty()) return;

    vector<PII> res;
    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = segs.first, ed = segs.second;

    for(int i = 1; i < segs.size(); i++){
        if(segs[i].first <= ed){
            ed = max(ed, segs[i].second);
        } else {
            res.push_back({st, ed});
            st = segs[i].first;
            ed = segs[i].second;
        }
    }
    res.push_back({st, ed});
    segs = res;
}

int main(){
    vector<PII> segs;
    int n;
    cin >> n;
    while(n--){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        segs.push_back({l, r});
    }

    merge(segs);
    
    cout << segs.size() << endl;
    return 0;
}

📖 第一讲 基础算法

🚀 1. 快速排序

1.0 洛谷题单

1.1 快速排序

🧬 2. 归并排序

2.1 归并排序

2.2 逆序对的数量

🔍 3. 二分查找

3.0 洛谷题单

3.1 数的范围（整数二分）

3.2 数的三次方根（浮点数二分）

🧮 4. 高精度计算

4.0 洛谷题单

4.1 高精度加法

4.2 高精度减法

4.3 高精度乘法

4.4 高精度除法

📊 5. 前缀和与差分

5.0 洛谷题单

5.1 前缀和（一维）

5.2 子矩阵的和（二维）

5.3 差分（一维）

5.4 差分矩阵（二维）

👉👈 6. 双指针算法

6.0 洛谷题单

6.1 最长连续不重复子序列

6.2 数组元素的目标和

6.3 判断子序列

⚙️ 7. 位运算

7.0 洛谷题单

7.1 二进制中1的个数

🗺️ 8. 离散化

8.0 洛谷题单

8.1 区间和

🤝 9. 区间合并

9.1 区间合并

📖 第一讲基础算法